环球热讯:【原】一题多解 | 角度问题综合
题目：在△ABC中，作∠FBC=∠ECB=1/2∠A。求证：BE=CF
(相关资料图)
解法1：利用平行线转移角构造全等三角形
①构造平行四边形BHCF；则∠1=∠2=∠3；
②∠4=∠1+∠2=∠A；则A、E、G、F四点共圆；则∠5+∠6=180°；
③因为∠5=∠H，∠H+∠6=180°，则C、E、B、H四点共圆；
④因为∠2=∠3，所以BE=BH=CF
解法2：构造等腰三角形
①构造△CEB≌△BHC，则BE=CH，只用证△CHF为等腰三角形就行；
②∠H=∠BEC=∠A+∠3；∠HFC=∠4+∠3=∠1+∠2+∠3=∠A+∠3；
③∠H=∠HFC，所以CH=CF=BE；
解法3：构造等腰三角形
①作BH⊥CE，CM⊥BF；
②先证△CBH≌△BCM，得到BH=CM
③再证△BHE≌△CMF
（其中∠BEH+∠CFG=180°在第一种方法中已证明。所以∠BEH=∠CFM）
解法4：三线合一+构造中位线
①GH⊥BC，因为∠1=∠2，根据等腰三角形三线合一得到H为BC中点，且∠3=∠4；
②构造中位线HM和HN，要证BE=CF，则证HM=HN；
③∠CNH=∠CEB，∠BMH=∠BFC，所以∠HMG+∠HNG=180°；
（其中∠BEH+∠CFG=180°在第一种方法中已证明。所以∠BEH=∠CFM）
④所以H、M、G、N四点共圆；所以∠3=∠6、∠5=∠4；
⑤所以∠5=∠6，HM=HN，BE=CF；
解法5：构造相似三角形
①构造EH∥AC，则黄色三角形相似；
则EG:CG=EH:CF，即EG:BG=EH:CF（因为CG=BG）
②△BEH∽△BGE（字母型相似）
因为EH∥AC，所以∠BEH=∠A
因为∠EGB=∠A（第一种方法已证）；∠BEH=∠A=∠EGB；
又因为公共角∠EBH
所以△BEH∽△BGE
所以BE:EH=BG:EG
因为EG:BG=EH:CF
所以BE=CF
解法6：等面积法
①求△BCF的面积
S△BCF=1/2×BC×BF×sin∠1
S△BCF=1/2×CF×BF×sin∠4
所以BC×sin∠1=CF×sin∠4 （1）
②求△BCE的面积
S△BCE=1/2×BC×CE×sin∠2
S△BCE=1/2×BE×CE×sin∠3
所以BC×sin∠2=BE×sin∠3（2）
③比例关系求解
用（1）比（2）得：
sin∠1：sin∠2=（CF×sin∠4）：（BE×sin∠3）
因为∠1=∠2；∠3+∠4=180°；
所以CF=BE
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